\(\fbox{1}\)
(1) 座標平面上の 3 点 O\((0,0)\)，A\(\left(\dfrac{7}{3},0\right)\)，B\((1,1)\) を頂点とする三角形 OAB と 2 点 O，B を両端とする曲線 \(C:y=x^2 \,(0 \leqq x \leqq 1)\) を考える。三角形 OAB の\(\angle\)OAB の 2 等分線と曲線 \(C\) との交点 P の \(x\) 座標を \(p\) とすれば
\(p=\dfrac{\fbox{アイ}+\sqrt{\fbox{ウエ}}}{\fbox{ オ }}\)
である。
(2) \(a\)，\(b\) を定数とし，関数 \(f(x)=x^4+5x^3+ax^2-bx+9\) を考える。関数 \(f(x)\) はすべての実数 \(x\) に対して \(f(x) \geqq 0\) であり，ある異なる 2 つの実数 \(\alpha\)，\(\beta\) に対して \(f(\alpha)=f(\beta)=0\) であるとき，
\(\alpha+\beta=\dfrac{\fbox{カキ}}{\fbox{ ク }}\)，\(\alpha\beta=\fbox{ケコ}\)，\(a=\dfrac{\fbox{ サ }}{\fbox{ シ }}\)，\(b=\fbox{スセ}\)
である。
\(\fbox{2}\)
(1) 平面上の 2 つのベクトル \(\vec{a}=(3,4)\)，\(\vec{b}=(1,2)\) に対して，関数 \(f(t)\) を
\(f(t)=\dfrac{1}{t}\left(\dfrac{1}{|\vec{a}-t\vec{b}|}-\dfrac{1}{|\vec{a}+t\vec{b}|}\right)\) （\(t\) は 0 と異なる実数）
と定める。このとき
\(\displaystyle{\lim_{t \to 0}}\,f(t)=\dfrac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウエオ}}\)
である。
(2) 関数
\(f(x)=\displaystyle{\int_{1}^{x}}\,\dfrac{x+4t}{\sqrt{3x^4+t^4}}\,dt\) \((x>0)\)
の \(x=2\) における微分係数は \(f'(2)=\dfrac{\fbox{ カ }}{\fbox{ キ }}\) である。
\(\fbox{3}\)
O を原点とする座標平面上において，放物線 \(C : y=6-\dfrac{9}{2}\,x^2\) を考える。正の数 \(t\) に対して，\(C\) 上の点 P\(_t\)\(\left(t,6-\dfrac{9}{2}\,t^2\right)\) における \(C\) の接線が \(x\) 軸，\(y\) 軸と交わる点をそれぞれ A\(_t\)，B\(_t\) とする。3 点 O，A\(_t\)，B\(_t\) を頂点とする三角形 OA\(_t\)B\(_t\) の面積を \(S(t)\) とすれば
\(S(t)=\dfrac{\fbox{ ア }}{\fbox{ イ }}\,t^3+\fbox{ ウ }\,t+\dfrac{\fbox{ エ }}{t}\)
であり，\(t>0\) の範囲で \(S(t)\) のとり得る最小値を \(m\) とすれば \(m=\dfrac{\fbox{オカ}}{\fbox{ キ }}\) である。
\(\fbox{4}\)
\(a\) を正の整数とし，座標平面上の 2 つの曲線
\(C_1 : y=\sqrt{x+a} (x \geqq 0)\)，\(C_2 : y=\dfrac{8}{x+1} (x \geqq 0)\)
を考える。
(1) 2 つの曲線 \(C_1\)，\(C_2\) が共有点をもつような \(a\) の範囲は
\(0< a \leqq \fbox{アイ}\)
である。
(2) \(a=1\) のとき，2 つの曲線 \(C_1\)，\(C_2\) の共有点を P\((p,q)\) とすれば
\(p=\fbox{ ウ }\)，\(q=\fbox{ エ }\)
である。
(3) \(a=1\) のとき，2 つの曲線 \(C_1\)，\(C_2\) および \(y\) 軸で囲まれた図形の面積を \(S\) とすれば
\(S=\fbox{オカ}\,\log\,2-\dfrac{\fbox{キク}}{\fbox{ ケ }}\)
である。ただし，対数は自然対数とする。
\(\fbox{5}\)
座標平面上で，不等式
\(|x|+|y|+|x+y| \leqq 2\)
の表す領域を図示せよ。
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