【１】 次の各文の \(\fbox{ }\) にあてはまる答を求めよ。
(1) \(a，b\) を定数とする。
整式 \(x^3-4x^2+ax+b\) を \((x-1)^2\) で割った余りが 1 であるとき，
\(a\) の値は \(\fbox{（ア）}\)，\(b\) の値は \(\fbox{（イ）} である。\)
(2) \(x=\sin\theta+\cos\theta\)，\(y=\sin^3\theta+\cos^3\theta+3\sin\theta\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta)+6\sin\theta\cos\theta-9(\sin\theta+\cos\theta)\) とおく。\(\dfrac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \pi\) のとき，\(x\) のとり得る値の範囲は \(\fbox{（ウ）}\) であり，\(y\) を \(x\) を用いて表すと \(y=\fbox{（エ）}\) となる。さらにこのとき，\(y\) のとり得る値の範囲は \(\fbox{（オ）}\) である
(3) 3 点 A\((-3,6)\)，B\((5,0)\)，C\((4,7)\) を通る円の中心の座標は \(\fbox{（カ）}\) であり，半径は \(\fbox{（キ）}\) である。この円と直線 \(y=2x+k\) の共有点の個数が 2 個であるとき，定数 \(k\) のとり得る値の範囲は \(\fbox{（ク）}\) である。
(4) ボタンを押すたびに「あたり」か「はずれ」のいずれか一方だけを画面に表示する機械があり，この機械は以下の規則に従って動く。
規則１． 1 回目にボタンを押して「あたり」が表示される確率は \(\dfrac{2}{3}\) である。
規則２． ボタンを押して「あたり」が表示されたとき，次にボタンを押して「あたり」が表示される確率は \(\dfrac{2}{3}\) である。また，ボタンを押して「はずれ」が表示されたとき，次にボタンを押して「あたり」が表示される確率は \(\dfrac{1}{6}\) である。
各自然数 \(n\) に対して，\(n\) 回目にボタンを押して「あたり」が表示される確率を \(a_n\) とする。このとき，\(a_1=\dfrac{2}{3}\)，\(a_2=\fbox{（ケ）}\)，\(a_3=\fbox{（コ）}\) であり，数列 \(\{a_n\}\) の一般項は \(a_n=\fbox{（サ）}\) である。
(5) 実部が正で虚部が負である複素数 \(z\) が \(z^4=-8+8\sqrt{3}\,i\) を満たすとする。このとき，\(z^4\) を極形式で表すと \(z^4=\fbox{（シ）}\) であり，\(z\) の値は \(\fbox{（ス）}\) である。2 つの複素数 0，\(z\) を表す複素数平面上の点をそれぞれ O，A とし，線分 OA の中点を表す複素数を \(w\) とおくとき，\(w^{2017}+(\overline{w})^{2017}\) の値は \(\fbox{（セ）}\) である。また，\(1+z+z^2+z^3+z^4\) の値は \(\fbox{（ソ）}\) である。
【２】 \(C\) は直線 \(x=1\) を軸とする上に凸な放物線であり，原点 O と通るとする。\(C\) と曲線 \(y=2x\sqrt{x}\) の 2 個の共有点のうち O 以外のものを A\((a,2a\sqrt{a})\) とおく。\(C\) と曲線 \(y=2x\sqrt{x}\) で囲まれた部分の面積を \(S\) とし，\(C\) と \(x\) 軸で囲まれた部分の面積を \(T\) とする。このとき，次の問に答えよ。
(1) 放物線 \(C\) の頂点の \(y\) 座標を \(a\) を用いて表せ。また，\(a\) のとり得る値の範囲を求めよ。
(2) \(S\) を \(a\) を用いて表せ。
(3) \(2S=T\) となる \(a\) の値がただ 1 つ存在することを証明せよ。
【３】 \(C\) を方程式 \(x^2+y^2-|\sqrt{3}\,x+y|-|\sqrt{3}\,x-y|=0\)（\(y>0\)）の表す曲線とし，\(b\) を \(C\) と直線 \(y=b\) が 6 個の共有点をもつような定数とする。このとき，次の問に答えよ。
(1) 曲線 \(C\) の概形をかけ。また，\(b\) のとり得る値の範囲を求めよ。
(2) 曲線 \(C\) と直線 \(y=ax+b\) が 6 個の共有点をもつような定数 \(a\) のとり得る値の範囲を \(f(b)<a<g(b)\) とおく。\(b\) が (1) で求めた範囲を動くとき，\(g(b)-f(b)\) が最大値をとる \(b\) の値を求めよ。
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