$\fbox{1}$ 次の問いに答えなさい。
(1) 実数 $x$，$y$ についての式 $F$ を
$F=4^{x+1}+4^{y+1}-2^{x+2}-2^{y+2}-10$
とする。
$y=0$ のとき，$x$ がすべて実数値をとるならば，$F$ は，$x=\fbox{アイ}$ で最小値 $\fbox{ウエオ}$ をとる。
また，$y=-x$ であるとき，$t=2^{x}+2^{-x}$ とおくと，$F$ は $t$ を用いて
$F=\fbox{ カ }\,t^2-\fbox{ キ }\,t-\fbox{クケ}$
と表せるから，$x$ がすべての実数値をとるとき，$F$ は最小値 $\fbox{コサシ}$ をとる。
(2) 関数 $f(x)$ を $f(x)=x-[x]$ とする。ただし，実数 $x$ に対し，$[x]$ は $x$ を超えない最大の整数とする。
$a$，$b$ を正の整数とし，2 つの集合 $A$，$B$ を
$A=\{x|f(ax)=0,\,0 \leqq x \leqq 2\}$
$B=\{x|f(bx)=0,\,0 \leqq x \leqq 2\}$
とする。
$f(ax)=0$ が成り立つとき，$ax$ は整数であるから，集合 $A$，$B$ の要素の個数をそれぞれ $n(A)$，$n(B)$ とすると
$n(A)=\fbox{ ス }\,a+\fbox{ セ }$，$n(B)=\fbox{ ス }\,b+\fbox{ セ }$
である。
$n(A)=131$，$n(B)=183$ のとき，$a=\fbox{ソタ}$，$b=\fbox{チツ}$ であり，$n(A \cap B)=\fbox{テト}$ である。
$\fbox{2}$ $n$ を正の整数とする。長さが等しい $n$ 本のひもがある。これらに 1 本ずつ異なる番号 $1,2,\cdots,n$ をつけ，番号 $k$ のひもの両端を $l_k$，$r_k$ とし区別する（図参照→クリック）。
ひもの端 $2n$ か所から無作為に 2 か所ずつ選び，それらをそれぞれ結ぶ。
例えば，$n=2$ の場合は，2 本のひもがつながって 1 つの輪ができるか，2 つの輪ができるかのいずれかである。
(1) $n=3$ のとき，すべてのひもがつながって 1 つの輪ができる確率を求める。
ひもの端 6 か所を 2 ずつ結ぶ方法は，異なる 6 個のものを 2 個ずつ 3 つの組に分ける方法に等しいから，$\fbox{アイ}$ 通りある。
3 本のひもがつながって 1 つの輪ができる場合，$l_1$ は $r_1$ 以外と結ぶから，$l_1$ を結ぶ端の選び方は，$\fbox{ ウ }$ 通り。$l_1$ と$l_2$ を結んだとすると，$r_2$ は $l_3$ または $r_3$ と結ぶから，2 通り。残った 2 か所を結ぶ方法は 1 通りとなる。
よって，3 本のひもがつながって 1 つの輪ができる結び方は，$\fbox{ エ }$ 通りである。
したがって，$n=3$ のとき，すべてのひもがつながって 1 つの輪ができる確率は $\dfrac{\fbox{ オ }}{\fbox{カキ}}$ である。
(2) $n=4$ のとき，すべてのひもがつながって 1 つの輪ができる確率は $\dfrac{\fbox{クケ}}{\fbox{コサ}}$ である。
(3) $n=5$ のとき，ちょうど 2 つの輪ができる確率は $\dfrac{\fbox{シス}}{\fbox{セソタ}}$ である。
$\fbox{3}$ 底面の正方形 ABCD の 1 辺の長さが $\sqrt{2}$，高さが 1 の正四角錐 O-ABCD を考える。ただし，正四角錐とは底面が正方形で，側面がすべて合同な二等辺三角形である角錐をいう。辺 OC の中点を M，正方形 ABCD の対角線の交点を K とし，$\vec{a}=\overrightarrow{OA}$，$\vec{b}=\overrightarrow{OB}$，$\vec{c}=\overrightarrow{OC}$ とする。
このとき
$|\vec{a}|=\sqrt{\fbox{ ア }}$ $\vec{a} \cdot \vec{b}=\fbox{ イ }$
である。
線分 AM と平面 OBD の交点を N とするとき
$\overrightarrow{ON} = \dfrac{\fbox{ ウ }}{\fbox{ エ }}\,\overrightarrow{OK}$
である。
辺 OB 上に点 P を $\overrightarrow{OP}=p\overrightarrow{OB}\,(0 < p \leqq 1)$ となるようにとり，辺 OD 上に点 Q を $\overrightarrow{OQ}=q\overrightarrow{OD}\,(0 < q \leqq 1)$ となるようにとり，4 点 A，M，P，Q が同一平面上にあるようにする。
$p=1$ のとき $q=\dfrac{\fbox{ オ }}{\fbox{ カ }}$ である。
$p$ がとり得る値の最小値は
$p=\dfrac{\fbox{ キ }}{\fbox{ ク }}$
である。
4 点 A，M，P，Q が同一平面上にある条件から，$p$ と $q$ の間に
$\fbox{ ケ }\,pq=p+q$
という関係が成り立つ。
線分 PQ の長さの 2 乗は PQ$^2 = \fbox{ コ }\,(p+q)^2-\fbox{ サ }\,pq$ と表せる。$p+q$ の最小値は $\dfrac{\fbox{ シ }}{\fbox{ ス }}$ であるから，線分 PQ の長さは $p=\dfrac{\fbox{ セ }}{\fbox{ ソ }}$ のとき，最小値 $\dfrac{\fbox{ タ }}{\fbox{ チ }}$ をとる。
$\fbox{4}$ 次の問いに答えなさい。
(1) $p$ を実数の定数とするとき，数列 $\{n^p\}$（$n$ は自然数）の和を
$S_{p}(n)=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}\,k^{p}=1^{p}+2^{p}+ \cdots +n^{p}$ とおく。
$S_{1}(n)=\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{2}n$ $\cdots$ ①
$S_{2}(n)=\dfrac{1}{3}n^3+\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{6}n$ $\cdots$ ②
$S_{3}(n)=\dfrac{1}{\fbox{ ア }}n^4+\dfrac{1}{\fbox{ イ }}n^3+\dfrac{1}{\fbox{ ウ }}n^2$ $\cdots$ ③
である。次の方法で $S_4(n)$ を求める。
二項定理から
$(k+1)^5-k^5=\fbox{ エ }\,k^4+\fbox{オカ}\,k^3+\fbox{オカ}\,k^2+\fbox{ エ }\,k+1$
である。この式の $k$ に 1 から $n$ までを代入して得られる $n$ 個の式の辺々をそれぞれ加えると
$(n+1)^5-1^5$
$=\fbox{ エ }\,S_4(n)+\fbox{オカ}\,S_3(n)+\fbox{オカ}\,S_2(n)+\fbox{ エ }\,S_1(n)+n$
となる。①，②，③ より
$S_4(n)=\dfrac{1}{\fbox{ キ }}\,n^5+\dfrac{1}{\fbox{ ク }}\,n^4+\dfrac{1}{\fbox{ ケ }}\,n^3-\dfrac{1}{\fbox{コサ}}\,n$
となる。
(2) $n$ を 2 以上の整数とする。
$1^2$ から $n^2$ までの異なる $n$ 個の平方数（整数を 2 乗した数）
1，4，9，16，25，$\cdots$，$n^2$
の中から異なる 2 個の数を取り出してつくった積すべての和を $T$ とする。
(1) の $S_{p}(n)$ を用いると
$T=\dfrac{1}{\fbox{ シ }}\left[\left\{S_{\fbox{ス}}(n)\right\}^{\fbox{セ}}-S_{\fbox{ソ}}(n)\right]$
$=\dfrac{1}{18}\,n^6+\dfrac{1}{\fbox{タチ}}\,n^5-\dfrac{5}{\fbox{ツテ}}\,n^4-\dfrac{1}{\fbox{トナ}}\,n^3+\dfrac{1}{72}\,n^2+\dfrac{1}{60}\,n$
である。
$\fbox{5} $自然数 $n$ に対して関数 $f_n(x)=x+\log\dfrac{1+e^x+e^{2x}+\cdots+e^{(n-1)x}}{n}$ で定める。ただし，対数は自然対数である。
このとき
$f_{n}(0)=\fbox{ ア }$
である。
数列 $\{a_{n}\}$ を，$a_{n}=\displaystyle{\lim_{x \to 0}}\,\dfrac{f_{n}(x)}{x}$ で定める。一般に，微分可能な関数 $g(x)$ の $x=t$ における微分係数 $g'(t)$ は，
$g'(t)=\displaystyle{\lim_{x \to t}}\dfrac{g(x)-g(t)}{x-t}$
であることから
$a_{n}=\dfrac{n+\fbox{ イ }}{\fbox{ ウ }}$
となる。
よって
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}\,\dfrac{1}{a_{k}a_{k+1}}=\fbox{ エ }-\dfrac{\fbox{ オ }}{n+\fbox{ カ }}$
であり
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}\,\dfrac{1}{a_{n}a_{n+1}}=\fbox{ キ }$
である。
数列 $\{b_{n}\}$ を
$b_{n}=\left\{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)\left(\dfrac{n+2}{n}\right)^{2}\left(\dfrac{n+3}{n}\right)^{3} \cdots \left(\dfrac{n+n}{n}\right)^{n}\right\}^{\frac{1}{4a_{n}a_{n+1}}}$
で定める。$\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\,b_{n}=e^{l}$ とするとき，
$l=\dfrac{\fbox{ ク }}{\fbox{ ケ }}$
である。
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