$\fbox{１}$ $\theta$ を実数とし，$i$ を虚数単位とする。
(1) $A$，$B$ を実数の定数とし，任意の実数 $\theta$ に対して，
$\sin 3\theta=\sin \theta \cdot (A-B\sin^2 \theta)$
が成り立つとする。
(i) $A=\fbox{ア}$，$B=\fbox{イ}$ である。
(ii) $\dfrac{1}{2}\pi \leqq \theta \leqq \dfrac{3}{2}\pi$ とし，3 次方程式 $Ax-Bx^3=\dfrac{1}{2}$ の最も小さい解が $\sin\theta$ に等しいとき，
$\theta=\dfrac{\fbox{ウエ}}{\fbox{オカ}}\pi$ である。
(2) $a$，$b$，$c$ を実数の定数とし，任意の実数 $\theta$ に対して，
$\sin 5\theta = \sin\theta \cdot f(\sin^2\theta)$
を満たす 2 次関数 $f(x)=ax^2+bx+c$ を考える。
(i) 複素数 $\left(\cos\dfrac{2}{5}\pi+i\sin\dfrac{2}{5}\pi\right)^2$ の虚部の値は $\fbox{キ}$ である。
(ii) $\alpha$，$\beta$ を実数とするとき，複素数 $(\alpha+i\beta)^5$ の虚部は
$\fbox{ク} \alpha^4\beta – \fbox{ケコ} \alpha^2\beta^3 + \beta^5$
に等しい。
(iii) $a=\fbox{サシ}$，$b=-\fbox{スセ}$，$c=\fbox{ソ}$ である。
(iv) 2 次方程式 $f(x)=0$ の解 $x$ は
$x=\dfrac{\fbox{タ}-\sqrt{\fbox{チ}}}{\fbox{ツ}}$ と $x=\dfrac{\fbox{タ}+\sqrt{\fbox{チ}}}{\fbox{ツ}}$
である。ここで，2 つの $\fbox{タ}$，2 つの $\fbox{チ}$，2 つの $\fbox{ツ}$ は，それぞれ，同じ値である。
(v) $\cos\dfrac{2}{5}\pi=\dfrac{-\fbox{テ}~\fbox{ト}\sqrt{\fbox{ナ}}}{\fbox{ニ}}$ である。
ただし，$\fbox{ト}$ は符号 $+$，$-$ のいずれかである。
(3) $p,~q,~r,~s$ を実数の定数とし，任意の実数 $\theta$ に対して，
$\sin 7\theta = \sin\theta \cdot g(\sin^2\theta)$
を満たす 3 次関数 $g(x)=px^3+qx^2+rx+s$ を考える。
(i) $p=-\fbox{ヌネ}$，$q=\fbox{ノハヒ}$，$r=-\fbox{フヘ}$，$s=\fbox{ホ}$ である。
(ii) $\sin\dfrac{2}{7}\pi \cdot \sin\dfrac{4}{7}\pi \cdot \sin\dfrac{6}{7}\pi = \dfrac{\sqrt{\fbox{マ}}}{\fbox{ミ}}$ が
成り立つ。
$\fbox{２}$ $\theta$ を実数とし，$i$ を虚数単位をする。
(1) 複素数平面において，複素数 $z$ が $2+\dfrac{3}{2}\,i$ を中心とする半径 $\dfrac{5}{2}\sqrt{2}$ の円周上にあるとし，$w=\dfrac{1}{z}$ とおく．
(i) $\left|2+\dfrac{3}{2}\,i\right|=\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}$ である。
(ii) $\left|w-\dfrac{\fbox{ウ}-\fbox{エ}\,i}{\fbox{オカ}}\right|=\sqrt{2}|w|$ が成り立つ。
(iii) $w$ は中心 $-\dfrac{\fbox{ キ }}{\fbox{クケ}}+\dfrac{\fbox{ コ }}{\fbox{サシ}}\,i$，半径 $\dfrac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}}\,\sqrt{2}$ の円周上にある。
(2) 複素数平面において
$z_A = \cos \theta + i\,\sin \theta$，$z_B = \cos 2\theta + i\,\sin 2\theta$，$z_C = \cos 3\theta + i\,\sin 3\theta$ とし，複素数 $z_A$，$z_B$，$z_C$ の表す点を，それぞれ A，B，C とする。
(i) $\pi < \theta < 2\pi$ とする。3 点 A，B，C を頂点とする三角形が正三角形となるのは $\theta=\dfrac{\fbox{ ソ }}{\fbox{ タ }}\,\pi$ のときであり，直角三角形になるのは $\theta=\dfrac{\fbox{ チ }}{\fbox{ ツ }}\,\pi$ のときである。
(ii) $0 < \theta < \pi$ とする。3 点 A，B，C を頂点とする三角形の面積を $S$ とするとき，
$S=\sin\theta\,\fbox{ テ }\,\dfrac{\fbox{ ト }}{\fbox{ ナ }}\,\sin 2\theta$
である。ただし，$\fbox{ テ }$ は符号 $+$，$-$ のいずれかである。
$S$ が最大となるのは $\theta=\dfrac{\fbox{ ニ }}{\fbox{ ヌ }}\,\pi$ のときである。このとき $S$ の最大値は $\dfrac{\fbox{ ネ }}{\fbox{ ノ }}\,\sqrt{\fbox{ ハ }}$ である。
(iii) $\theta=1$ とし，$m$，$n$ を整数とする。$m$，$n$ が $\arg(Z_A)=\arg\left(\dfrac{{Z_B}^m}{{Z_C}^n}\right)$ を 満たすとき，$m$，$n$ は整数 $k$ を用いて
$m=2+\fbox{ ヒ }\,k$，$n=\fbox{ フ }+\fbox{ ヘ }\,k$
と表せる。このとき，$m$，$n$ が共に 50 以上，150 以下を満たす $m$，$n$ の組は $\fbox{ホマ}$ 組ある。
$\fbox{３}$ $f(x)=x+\dfrac{2}{\pi}\,\sin(\pi x)$ とする。
(1) $0 \leqq x \leqq 1$ の範囲において，$f(x)$ は $x=\dfrac{\fbox{ ア }}{\fbox{ イ }}$ のとき最大値 $\dfrac{\fbox{ ウ }}{\fbox{ エ }}+\dfrac{\sqrt{\fbox{ オ }}}{\pi}$ をとる。
(2) 曲線 $C\,:\, y=f(x)$ 上の点 $(t,\,f(t))$ における曲線 $C$ の接線を $l_t$ とする。
(i) $t=0$ のとき，直線 $l_t$ の方程式は $y=\fbox{ カ }\,x$ であり，$t=1$ のとき，直線 $l_t$ の方程式は $y=-x+\fbox{ キ }$ である。
(ii) $0 \leqq t \leqq 1$ の範囲において，直線 $l_t$ の $y$ 切片は
$t=\fbox{ ク }$ のとき最小値 $\fbox{ ケ }$ をとり，
$t=\fbox{ コ }$ のとき最大値 $\fbox{ サ }$ をとる。
(iii) $0 < t < 1$ とし，曲線 $C$ の $0 \leqq x \leqq 1$ の部分，直線 $l_t$，直線 $x=0$，および，直線 $x=1$ で囲まれた部分の面積を $S_t$ とする。
$S_t$ は $t=\dfrac{\fbox{ シ }}{\fbox{ ス }}$ のとき最小値 $\dfrac{\fbox{ セ }}{\pi}-\dfrac{\sqrt{\fbox{ ソ }}}{\pi^2}$ をとる。
Thanks for installing the Bottom of every post plugin by Corey Salzano. Contact me if you need custom WordPress plugins or website design.