\(\fbox{1}\)
問1 3 辺の長さがすべて自然数で，最も短い辺の長さが素数 \(p\) である直角三角形を考える。\(p=13\) のとき
3 辺の長さの和は \(\fbox{ (1) }\) \(\fbox{ (2) }\) \(\fbox{ (3) }\) である。また，この三角形の面積が 1710 のとき \(p=\fbox{ (4) }\) \(\fbox{ (5) }\) である。
問2 \(\pi^{x}=10^{5}\)，\((100\pi)^{y}=10^{5}\) であるとき，
\(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=-\dfrac{\fbox{ (6) }}{\fbox{ (7) }}\)
である。
問3 極限値 \(I=\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}\,\dfrac{5n-8k}{n^2+k^2}\) を考える。定積分 \(J=\displaystyle{\int_{0}^{1}}\dfrac{1}{1+x^2}\,dx\)，\(K=\displaystyle{\int_{0}^{1}}\dfrac{x}{1+x^2}\,dx\) を用いて \(I\) を表すと，
\(I=\fbox{ (8) }\,J-\fbox{ (9) }\,K\)
となる。\(J\) と \(K\) の値を求めて代入すると，
\(I=\dfrac{\fbox{ (10) }}{\fbox{ (11) }}\,\pi-\fbox{ (12) } \log \fbox{ (13) }\)
が得られる。
問4 2 次方程式 \(x^2-ax+(a^2-6a-1)=0\) の 2 つの解がともに整数となるような定数 \(a\) の値を全て加えると \(\fbox{ (14) }\) \(\fbox{ (15) }\) となる。
\(\fbox{2}\)
\(a\) を実数とする。2 次関数 \(f(x)=x^2+2ax\) の閉区間 \([a,a+2]\) における最大値を \(a\) の関数とみなし，\(g(a)\) とする。
問1 方程式 \(g(a)=15\) の解は，\(a=-\sqrt{\fbox{ (16) }}\) と \(a=\fbox{ (17) }\) である。
問2 \(g(a)=k\) を満たす実数 \(a\) が存在しないための必要十分条件は，\(k<\dfrac{\fbox{ (18) }}{\fbox{ (19) }}\) である。
問3 \(g(a)\) の最小値を \(g_{0}\) とおき，\(g(a)\) が最小値をとるときの \(a\) の値を \(a_{0}\) とおく。任意の実数 \(a\) について，\(p(a-a_{0})+g_{0} \leqq g(a)\) が成り立つための必要十分条件は，\(-\fbox{ (20) } \leqq p \leqq \fbox{ (21) }\) である。
\(\fbox{3}\)
正五角形 ABCDE において，\(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{BC}=\vec{b}\) とする。
問1 ベクトル \(\overrightarrow{AE}\) をベクトル \(\vec{a}\)，\(\vec{b}\) を使って表すと，
\(\overrightarrow{AE}=\dfrac{\fbox{ (22) }-\sqrt{\fbox{ (23) }}}{\fbox{ (24) }}\,\vec{a}+\fbox{ (25) }\,\vec{b}\)
である。
問2 \(\triangle\)ACE の重心を G とする。このとき，
\(\overrightarrow{AG}=\dfrac{\fbox{ (26) }-\sqrt{\fbox{ (27) }}}{\fbox{ (28) }}\,\vec{a}+\dfrac{\fbox{ (29) }}{\fbox{ (30) }}\,\vec{b}\)
である。
問3 直線 AB と直線 EG の交点を F とする。このとき，
\(\overrightarrow{AG}=\dfrac{\fbox{ (31) }+\sqrt{\fbox{ (32) }}}{\fbox{ (33) }}\,\vec{a}\)
である。
\(\fbox{4}\)
3 人が三角形の各頂点に 1 人ずつ立っている。各人が，さいころを 1 回投げ，出た目の数だけ時計回りに頂点を移動する。
問1 さいころを投げた後，1 つの頂点に 3 人が集まる確率は
\(0.\) \(\fbox{ (34) }\) \(\fbox{ (35) }\) \(\fbox{ (36) }\) である。
問2 さいころを投げた後，各頂点に 1 人ずついる確率は
\(0.\) \(\fbox{ (37) }\) \(\fbox{ (38) }\) \(\fbox{ (39) }\) である。
問3 さいころを投げた後，各頂点に 1 人ずついるとわかっているとき，全員がもとの頂点にいる確率は \(0.\) \(\fbox{ (40) }\) \(\fbox{ (41) }\) \(\fbox{ (42) }\) である。
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