第1問 次の問い（問1～3）に答えよ。
問1 1 以上の整数 $n$ に対して定義される $a_n$ について $a_1=1$ とし、$xy$ 平面における曲線 $y=x^3$ 上の点 $A_{n}(a_n, a_{n}^3)$ における接線を L$_n$ とする。直線 L$_{n}$ と $x$ 軸の交点を $B_{n+1}(a_{n+1}, 0)$ とすると、$a_{n+1}=\dfrac{\fbox{ ア }}{\fbox{ イ }}\,a_{n}$ が成り立つ。
また、曲線 $y=x^3$ と線分 A$_{n}$B$_{n+1}$ および $x$ 軸によって囲まれる部分の面積を $S_{n}$ とすると、$S_{1}=\dfrac{\fbox{ ウ }}{\fbox{エオ}}$、$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\,S_{n}}=\dfrac{\fbox{カキ}}{\fbox{クケコ}}$ である。
問2 $z \neq -\dfrac{1}{2}$ である複素数 $z$ に対して、$w=\dfrac{3z+1}{2z+1}$ と定める。このとき、$z$ は $w$ を用いて $z=\dfrac{-w+\fbox{ サ }}{\fbox{ シ }\,w-\fbox{ ス }}$ と表される。$z$ が純虚数であるとき、複素数平面において $w$ の満たす点全体は、中心が $\dfrac{\fbox{ セ }}{\fbox{ ソ }}$、半径 $\dfrac{\fbox{ タ }}{\fbox{ チ }}$ の円から 2 点 $\dfrac{\fbox{ ツ }}{\fbox{ テ }}$、$\fbox{ ト }$ を除いたものである。
問3 さいころ 1 個を 3 回投げて、出た目を順に $x_1$、$x_2$、$x_3$ とする。$x_1 \cdot x_2 \cdot x_3$ が 4 の倍数となる確率は $\dfrac{\fbox{ ナ }}{\fbox{ ニ }}$ である。また、$x_1 + (x_2)^2 + (x_3)^3$ が 4 の倍数となる確率は $\dfrac{\fbox{ ヌ }}{\fbox{ネノ}}$ である。なお、さいころの 6 個の目について、どの目の出る確率も等しいものとする。
第2問 四面体 OABC は辺の長さが OA=8、OB=9、OC=10 であり、$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$、$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$、$\overrightarrow{OC}=\vec{c}$ とおくと、内積の値はそれぞれ $\vec{a} \cdot \vec{b} = 64$、$\vec{b} \cdot \vec{c} = 82$、$\vec{c} \cdot \vec{a} = 64$ を満たす。
また、3 点 A、B、C を通る平面と点 D で接し、辺 OA、OB、OC とそれぞれ点 P、Q、R で接する球を S とし、S の中心を E とする。このとき、次の問い（問1～4）に答えよ。
問1 辺の長さは AB $= \sqrt{\fbox{アイ}}$、AC $= \fbox{ ウ }$ である。また、四面体 OABC の体積は $\fbox{エオ}\sqrt{ \fbox{カ} }$ である。
問2 $\vec{x}$ は $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ のそれぞれとなす角がともに $\theta \left(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\right)$ であり、$|\vec{x}| =1$ である。このとき、実数 $p$、$q$、$r$ を用いて $\vec{x}=p\vec{a}+q\vec{b}+r\vec{c}$ とおくと、$\dfrac{p}{\cos\theta}=\dfrac{\fbox{ キ }}{\fbox{クケ}}$、$\dfrac{p}{r}=\dfrac{\fbox{ コ }}{\fbox{ サ }}$ である。
問3 S の半径は $\fbox{ シ }$ であり、$\overrightarrow{OE}=\dfrac{\fbox{ ス }}{\fbox{セソ}}\,\vec{a}+\dfrac{\fbox{ タ}}{\fbox{ チ }}\,\vec{c}$ と表される。
問4 $\overrightarrow{OQ}=\dfrac{\fbox{ ツ }}{\fbox{ テ }}\,\vec{b}$ である。また、四面体 OABC の体積を $V_1$、四面体 OPQR の体積を $V_2$ とすると、$\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{\fbox{ ト }}{\fbox{ナニ}}$ である。
第3問 $xy$ 平面において $\left\{
\begin{array}{l}
x=\sin 2\theta \\
y=\sin 3\theta
\end{array}
\right.$ $\left( 0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$ によって表される曲線を $C$ とする。このとき、次の問い（問1～4）に答えよ。
問1 $C$ 上の点を P$(x, y)$ とする。$x$ 座標が最大であるときの $y$ 座標は $\dfrac{\sqrt{\fbox{ ア }}}{\fbox{ イ }}$ である。また、$C$ と $x$ 軸の共有点のうち原点ではないものを点 Q とすると、Q は $\theta = \dfrac{\fbox{ ウ }}{\fbox{ エ }}\,\pi$ に対応する点であり、Q における曲線 $C$ の接線の方程式は $y=\fbox{ オ }\,x-\dfrac{\fbox{ カ }\sqrt{\fbox{ キ }}}{\fbox{ ク }}$ である。
問2 $y^2=\dfrac{\fbox{ ケ }-\cos \fbox{ コ }\,\theta}{\fbox{ サ }}$、$y^2\dfrac{dx}{d\theta}=\cos\fbox{ シ }\,\theta-\dfrac{ \fbox{ ス }}{\fbox{ セ }}\left(\cos\fbox{ ソ }\,\theta+\cos\fbox{ タ }\,\theta\right)$ である。ただし、$\fbox{ ソ } < \fbox{ タ }$ とする。
問3 $C$ と直線 $y=x$ の共有点で原点でないものを点 A$(\alpha, \alpha)$ とすると、A は $\theta=\dfrac{\fbox{ チ }}{\fbox{ ツ }}\,\pi$ に対応する $C$ 上の点であり、この値を $\theta_0$ とおくと $\cos\theta_0=\dfrac{\fbox{ テ }+\sqrt{\fbox{ ト }}}{\fbox{ ナ }}$ となる。また、$\alpha^2=\dfrac{\fbox{ ニ }+\sqrt{\fbox{ ヌ }}}{\fbox{ ネ }}$ となる。
問4 $C$ と直線 $y=x$ で囲まれる部分を $x$ 軸の周りに回転して得られる立体の体積を $V$ とする。$\alpha$ を問3 の値とすると、$\dfrac{V}{\alpha}=\dfrac{\fbox{ノハ}-\fbox{ ヒ }\sqrt{\fbox{ フ }}}{\fbox{ヘホ}}\,\pi$ となる。
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